📊 시험 개요 Overview
선택형 13문항은 1번 3.6점에서 13번 6점까지 번호가 커질수록 배점이 같거나 높아지고, 서답형 7문항은 5~7점이며 모두 풀이 과정을 서술하는 형식입니다.
난이도 분포 (배점 기준)
난이도는 신화수학 자체 분류입니다. 중 9문항이 배점의 절반 가까이를 차지하고, 상 4문항은 선택형 12·13번과 서답형6·7 — 선택형·서답형 각각의 마지막 두 문항에 배치되었습니다.
🧮 배점 3중 검산 · 세 경로 모두 일치
① 문항합 · 선택형 60점 + 서답형 40점 = 100점
② 단원합 · 명제 31.5 + 절대부등식 17 + 함수 28.3 + 유리·무리함수 23.2 = 100점
③ 난이도합 · 상 24.8 + 중 46.8 + 하 28.4 = 100점
🧩 단원별 구성 Units & Weight
명제 31.5점 · 함수 28.3점 · 유리함수와 무리함수 23.2점 · 절대부등식 17점 — 네 영역에서 모두 출제되었고, 대단원으로 묶으면 집합과 명제 48.5점, 함수와 그래프 51.5점으로 비슷합니다. 절대부등식은 교과서 목차상 '명제'에 속하지만 출제 비중이 커서 따로 집계했습니다.
명제 7문항 · 31.5점(31.5%) — 진리집합·필요충분조건·귀류법·대우
절대부등식 3문항 · 17점(17%) — 산술·기하 평균 최솟값 2문항 + 보기 판별
함수 6문항 · 28.3점(28.3%) — 일대일함수·합성함수·역함수
유리함수와 무리함수 4문항 · 23.2점(23.2%) — 최대·최소, 점근선·대칭, 그래프 이동, 교점 개수
명제명제와 조건 · 필요충분조건 · 증명
31.5점 · 7문항 (31.5%)
1·4번은 반례로 바로 판정하는 기본 문항, 2번은 부정 조건의 진리집합(여집합)을 구하는 계산 문항이고, 6번은 두 조건문을 대우로 이어 붙이는 추론, 9번은 $\sqrt{3}$이 무리수임을 보이는 귀류법 증명의 빈칸 채우기입니다. 서답형4는 $\sim p\to\sim q$를 대우 $q\to p$로 바꿔 포함관계와 경계값 $-3$의 포함 여부를 판단하게 합니다.
절대부등식산술·기하 평균 · 절대부등식 판별
17점 · 3문항 (17%)
10번은 허근 조건에서 $a>3$을 얻은 뒤 $a-3$ 단위로 식을 고쳐야 하고, 서답형6은 유리함수 위의 점과 직선 위의 점 사이 거리를 식으로 세운 뒤 같은 방식으로 최솟값을 구합니다. 11번은 세 부등식의 참·거짓 판별입니다.
함수일대일함수 · 합성함수 · 역함수
28.3점 · 6문항 (28.3%)
3·5번과 서답형2는 정의를 그대로 적용하는 기본 문항, 8번은 역함수식과 항등식의 계수비교, 서답형3은 상수를 정한 뒤 $f(-2)=-2$라는 값의 되풀이를 알아차리면 반복 합성이 바로 끝납니다. 13번은 같은 집합을 정의역·공역으로 쓰는 일대일대응 조건이 핵심입니다.
유리함수와 무리함수유리함수 · 무리함수의 그래프
23.2점 · 4문항 (23.2%)
7번은 제한된 정의역에서의 최대·최소, 서답형5는 대칭축 두 직선의 교점이 점근선의 교점임을 이용합니다. 12번과 서답형7은 그래프의 끝점에서 상수를 정한 뒤 이동·교점 조건까지 이어 가는 고난도 문항입니다.
🧠 행동영역 분포 Cognitive Domain
추론이 7문항 40.3점으로 가장 큽니다 — 13번·서답형7처럼 조건을 연결해 미지수나 범위를 끌어내는 문항이 배점 상위권에 많습니다.
📌 핵심 출제 포인트 Key Patterns
이번 시험의 출제 축 — 문항 구성에서 반복되는 발상
1조건·명제를 진리집합의 포함관계로 번역
4·6번과 서답형1·4는 명제가 참인지를 진리집합 $P,\ Q$의 포함관계로 바꿔 판단하게 합니다(2번은 그 바탕이 되는 진리집합 계산). 특히 6번은 $p\to\sim r$, $q\to r$을 대우로 이어 $q\to r\to\sim p$를 만들어야 하고, 서답형4는 $\sim p\to\sim q$를 대우 $q\to p$로 바꿔 $Q\subset P$를 수직선에서 확인해야 합니다.
접근 · 충분조건은 화살표의 출발, 필요조건은 화살표의 도착. 명제는 항상 대우와 함께 보고, 경계점의 포함·불포함을 수직선에 ●/○로 먼저 표시합니다.
2산술·기하 평균은 '곱이 상수'가 되도록 식을 고쳐 쓴 뒤 사용
10번은 $a+\dfrac{7}{a-3}=(a-3)+\dfrac{7}{a-3}+3$, 서답형6은 $\dfrac{2}{t-2}+2t=\dfrac{2}{t-2}+2(t-2)+4$로 바꿔야 두 양수의 곱이 상수가 됩니다. 두 문항 모두 등호 조건으로 그때의 값($a=3+\sqrt{7}$, $t=3$)까지 확인해야 풀이가 완성됩니다.
접근 · 분모와 같은 묶음을 분자 쪽에 만들어 곱을 상수로 → 양수 조건 확인 → 등호 조건까지 서술.
3정의역·치역·그래프의 끝점이 미지수를 정한다
12번은 그래프의 시작점 $(-3,\ 2)$에서 $b=9$, $c=2$를, 서답형7은 정의역 $x\le 2$와 치역 $y\le 4$에서 끝점 $(2,\ 4)$를 읽고 $y$절편 2로 남은 상수를 정해 함수를 확정합니다. 13번은 정의역 $X$가 공역도 되므로 '치역 = 공역'을 $f(k)=k$로 번역해야 합니다.
접근 · 무리함수는 끝점, 이차함수는 축, 유리함수는 점근선을 먼저 그리고, 정의역 경계에서의 함숫값으로 식을 세웁니다.
4합성함수·역함수는 계산의 순서와 방향
$(f\circ g)(2)=f(g(2))$처럼 안쪽부터 계산하고, $g^{-1}(7)=3$은 $g(3)=7$로 바꿔 씁니다. 서답형3은 $f(-2)=-2$이므로 네 번 합성해도 값이 그대로입니다.
접근 · 역함수의 값은 원래 함수의 값으로 되돌려 연립하고, 반복 합성은 값이 되풀이되는지부터 확인합니다.
⚠️ 오답 유발 포인트 Traps
풀이 구조상 감점으로 이어지기 쉬운 함정
6번 — 필요조건의 화살표 방향
'$r$은 $q$이기 위한 필요조건'은 $q\to r$입니다. 이를 $r\to q$로 거꾸로 읽으면 ③을 뺀 ①·②·④·⑤가 모두 '항상 참이 아닌 것'으로 보여 답이 하나로 정해지지 않습니다.
7번 — 최댓값·최솟값의 자리
$f(x)=-\dfrac{9}{x-4}-2$는 주어진 정의역(점근선 $x=4$ 미포함)에서 증가하므로 $m=f\!\left(\dfrac{5}{2}\right)=4$, $n=f(-5)=-1$입니다. 두 값을 바꾸면 $-4$가 나와 선지에 없습니다.
9번 — (나)·(다) 빈칸 혼동
(나)는 기약분수의 조건인 '서로소'이며 $m\ne n$이 아닙니다. (다)는 ㉠ $n^2=3m^2$에 $n=3k$를 넣은 $(3k)^2=3m^2$이고, ②·⑤의 $n^2=3(3k)^2$는 $m$ 자리에 $3k$를 넣은 식입니다.
11번 — ㄴ의 부등호 방향
보기 ㄴ $\dfrac{(a+b)^2}{2}\ge a^2+b^2$ → 실제 관계는 $2(a^2+b^2)-(a+b)^2=(a-b)^2\ge 0$이므로 $\dfrac{(a+b)^2}{2}\le a^2+b^2$ → ×. $a=1,\ b=2$이면 $\dfrac{9}{2}<5$입니다.
서답형3 — 조건에 맞지 않는 해
$a^2+3a-18=0$의 해 중 $a=3$은 $a<0$에 맞지 않아 버려야 합니다. $a=-6$이면 $f(-2)=-2$로 값이 되돌아오지만, $a=3$을 쓰면 $7,\ 52,\ \cdots$처럼 값이 커져 엉뚱한 답이 됩니다.
서답형4 — 경계값 $-3$의 포함 여부
$Q\subset P$이려면 $Q$의 가장 왼쪽 점 $-3$이 $P=\{x\mid x>a\}$에 들어가야 하므로 $a<-3$입니다. $a=-3$이면 $-3\notin P$라 성립하지 않으므로 정수 최댓값은 $-4$입니다.
🔬 고난도 문항 심층 분석 Deep Dive
난이도 상 4문항 전부(합 24.8점) — 선택형 마지막 두 문항 12·13번, 서답형 최고배점 서답형7, 산술·기하 평균 축의 서답형6
12무리함수 그래프 읽기 + 평행이동·대칭이동
5.8점 · 정답 ① · 상
시작점이 $(-3,\ 2)$이고 오른쪽 아래로 뻗는 무리함수 $f(x)=a\sqrt{bx+27}+c$의 그래프를 $x$축 방향으로 $-1$만큼 평행이동한 뒤 $x$축에 대하여 대칭이동한 함수 $g(x)$에서, $g(0)=4$를 이용해 $f(6)$을 구하는 문항입니다.
💡 핵심 포인트
시작점에서 근호 안이 0이 되므로 $b=9$, 시작점의 $y$좌표에서 $c=2$. 두 번의 이동은 $g(x)=-f(x+1)$ 한 식으로 정리됩니다.
🔍 왜 어려웠을까
그래프 읽기(상수 2개) → 평행이동 → 대칭이동 → 방정식의 4단계가 이어집니다. $-1$만큼의 이동을 $f(x-1)$로 쓰면 $a=-\sqrt{2}$, 대칭이동을 빠뜨리면 $a=\dfrac{1}{3}$이 나와 $f(6)$이 어느 선지와도 맞지 않습니다. 선지에 없는 값이 나오면 이동 방향부터 다시 점검해야 합니다.
🚀 단계별 풀이
- 그래프에서 $b,\ c$ 결정시작점 $x=-3$에서 $-3b+27=0$ → $b=9$, 시작점의 높이 → $c=2$. 따라서 $f(x)=a\sqrt{9x+27}+2=3a\sqrt{x+3}+2$
- 이동을 식으로$x$축 방향 $-1$: $y=f(x+1)$ → $x$축 대칭: $y=-f(x+1)$, 즉 $g(x)=-f(x+1)$
- $a$ 결정$g(0)=-f(1)=-(6a+2)=4$ → $a=-1$ (그래프가 아래로 뻗는 모양 $a<0$과 일치)
- 답과 검산$f(6)=-\sqrt{81}+2=-7$ → ①. $f(x)=-3\sqrt{x+3}+2$의 $x$절편 $-\dfrac{23}{9}$, $y$절편 $2-3\sqrt{3}\approx-3.2$로 그림과 일치
📚 필요 개념
- 무리함수 $y=a\sqrt{b(x-p)}+q$의 시작점과 정의역
- 평행이동: $x$축 방향 $m$만큼 → $x$ 대신 $x-m$ ($m=-1$이면 $x+1$)
- $x$축 대칭이동: $y$ 대신 $-y$
- $a$의 부호와 그래프가 뻗는 방향
🧮 검증 · Python(sympy) 재계산 $b=9,\ c=2,\ a=-1,\ f(6)=-7$ · $x$절편 $-\frac{23}{9}$, $y$절편 약 $-3.196$으로 그림과 부합 — 손풀이·블라인드 재풀이 일치
13정의역 조건으로 일대일함수·일대일대응 만들기
6점 · 정답 ② · 상
정의역이 $X=\{x\mid x\le k\}$인 이차함수 $f(x)=-x^2+4x+10$이 일대일함수가 되는 $k$의 최댓값 $m_1$과, $X$에서 $X$로의 일대일대응이 되는 $k$의 값 $m_2$의 합을 구하는 문항입니다.
💡 핵심 포인트
$x\le 2$에서만 증가하므로 $k\le 2$. 일대일대응은 '치역 = 공역'이므로 $\{y\mid y\le f(k)\}=\{x\mid x\le k\}$, 즉 $f(k)=k$입니다.
🔍 왜 어려웠을까
같은 집합 $X$가 정의역이자 공역이라 치역 조건을 $f(k)=k$로 번역하는 단계가 숨어 있습니다. $f(k)=k$의 해 $k=5,\ -2$ 중 $k=5$는 $x\le 5$에서 일대일이 아니므로 버려야 하는데, 앞에서 구한 $k\le 2$를 다시 적용하지 않으면 이 단계를 놓치기 쉽습니다.
🚀 단계별 풀이
- 완전제곱식$f(x)=-(x-2)^2+14$ — 축 $x=2$, $x\le 2$에서 증가
- 일대일함수 조건정의역 $x\le k$가 증가 구간 안에 있어야 하므로 $k\le 2$ → $m_1=2$
- 일대일대응 조건$k\le 2$일 때 치역 $\{y\mid y\le f(k)\}$ = 공역 $X$ → $-k^2+4k+10=k$ → $k^2-3k-10=0$ → $(k-5)(k+2)=0$
- 답과 검산$k\le 2$이므로 $m_2=-2$, $m_1+m_2=0$ → ②. 검산 $f(-2)=-4-8+10=-2$
📚 필요 개념
- 이차함수의 축과 증가·감소 구간
- 일대일함수 = 정의역에서 증가 또는 감소
- 일대일대응 = 일대일함수 + (치역 = 공역)
- 조건에 맞지 않는 해 버리기
🧮 검증 · Python 재계산 — 꼭짓점 $x=2$, $f(k)=k$의 해 $-2,\ 5$, $m_1+m_2=0$ — 손풀이·블라인드 재풀이 일치
서답형6유리함수 위의 점과 직선 위의 점 — 거리의 최솟값
6점 · 정답 8 · 상
$f(x)=\dfrac{2}{x-2}\ (x>2)$의 그래프 위의 점 P와 직선 $y=-2x$ 위의 점 Q의 $x$좌표가 같을 때, 선분 PQ 길이의 최솟값을 풀이 과정과 함께 서술하는 문항입니다.
💡 핵심 포인트
$\overline{\mathrm{PQ}}=\dfrac{2}{t-2}+2t$를 $\dfrac{2}{t-2}+2(t-2)+4$로 고쳐 두 양수의 곱을 상수(4)로 만듭니다.
🔍 왜 어려웠을까
길이를 '위 − 아래'로 세우는 모델링, 식 변형, 산술·기하 평균, 등호 조건까지 4단계가 필요합니다. $\dfrac{2}{t-2}$와 $2t$에 바로 산술·기하 평균을 쓰면 곱 $\dfrac{4t}{t-2}$가 상수가 아니어서 최솟값을 정할 수 없습니다. 서술형이므로 $t-2>0$이라는 양수 조건과 등호 조건($t=3$)을 함께 써야 합니다.
🚀 단계별 풀이
- 점의 좌표와 길이$\mathrm{P}\!\left(t,\ \dfrac{2}{t-2}\right)$, $\mathrm{Q}(t,\ -2t)$, $t>2$ → $\overline{\mathrm{PQ}}=\dfrac{2}{t-2}-(-2t)=\dfrac{2}{t-2}+2t$
- 곱이 상수가 되게 변형$2t=2(t-2)+4$ → $\overline{\mathrm{PQ}}=\dfrac{2}{t-2}+2(t-2)+4$
- 산술·기하 평균$t-2>0$이므로 $\dfrac{2}{t-2}+2(t-2)\ge 2\sqrt{\dfrac{2}{t-2}\times 2(t-2)}=4$ → $\overline{\mathrm{PQ}}\ge 8$
- 등호 조건과 답$\dfrac{2}{t-2}=2(t-2)$ → $(t-2)^2=1$, $t-2>0$이므로 $t-2=1$ → $t=3$. 최솟값 $8$. 검산: $\mathrm{P}(3,\ 2)$, $\mathrm{Q}(3,\ -6)$ → $\overline{\mathrm{PQ}}=8$
📚 필요 개념
- 그래프 위의 점의 좌표 표현
- $x$좌표가 같은 두 점 사이의 거리 = $y$좌표의 차
- 산술·기하 평균의 관계와 등호 조건
- 양수 조건 확인
🧮 검증 · Python 재계산 — $t>2$에서 극소 $t=3$, 최솟값 $8$ — 손풀이·블라인드 재풀이 일치
서답형7무리함수 결정 + 직선과 두 점에서 만날 조건
7점 · 정답 2＜t≤3 · 상
정의역이 $\{x\mid x\le 2\}$, 치역이 $\{y\mid y\le 4\}$, $y$절편이 2인 무리함수 $f(x)=-\sqrt{ax+b}+c$의 그래프와 직선 $y=\dfrac{1}{2}x+t$가 서로 다른 두 점에서 만나는 실수 $t$의 범위를 서술하는 문항입니다.
💡 핵심 포인트
정의역·치역에서 끝점 $(2,\ 4)$를, $y$절편 2에서 $a$를 정해 $f(x)=-\sqrt{-2x+4}+4$를 확정한 뒤, 직선이
접할 때($t=2$)와
끝점을 지날 때($t=3$) 사이를 찾습니다.
🔍 왜 어려웠을까
함수 결정(조건 3개)과 교점 개수 판단(경계 2개)을 한 문항에서 이어야 합니다. 끝점을 지날 때는 두 점에서 만나므로 포함, 접할 때는 한 점이므로 제외 — 부등호 하나로 답이 갈립니다. 접하는 조건은 무리방정식을 제곱해 이차방정식의 판별식으로 바꿔야 합니다.
🚀 단계별 풀이
- 끝점과 식의 꼴치역 $y\le 4$ → $c=4$, 정의역 $x\le 2$ → $a<0$이고 $2a+b=0$ → $f(x)=-\sqrt{a(x-2)}+4$
- $y$절편으로 $a$ 결정$f(0)=-\sqrt{-2a}+4=2$ → $a=-2,\ b=4$ → $f(x)=-\sqrt{-2x+4}+4$
- 끝점을 지날 때$(2,\ 4)$ 대입: $4=1+t$ → $t=3$ (이때 교점은 $(2,\ 4)$, $(-6,\ 0)$ 두 개)
- 접할 때$4-\dfrac{x}{2}-t=\sqrt{4-2x}$를 제곱해 정리하면 $x^2+4(t-2)x+4(4-t)^2-16=0$, $\dfrac{D}{4}=16(t-2)=0$ → $t=2$ (접점 $(0,\ 2)$)
- 답과 검산직선은 $t=2$에서 접하고, $t$가 커지면 두 점에서 만나다가 $t=3$에서 끝점을 지난 뒤 한 점에서 만납니다 → $2<t\le 3$. 검산: $t=2.5$일 때 교점 2개, $t=3.1$일 때 1개
📚 필요 개념
- 무리함수의 정의역·치역과 끝점
- 무리함수의 그래프와 직선의 위치 관계
- 무리방정식의 제곱과 판별식
- 경계값의 포함 여부 판단
🧮 검증 · Python 재계산 — $a=-2,\ b=4,\ c=4$ · $t=2.1,\ 2.5,\ 2.9,\ 3$에서 교점 2개, $t=2,\ 3.1$에서 1개 — 손풀이·블라인드 재풀이 일치
🎯 고득점 전략 How to Win
배점 방어 우선순위별 학습 처방
① 하·중 16문항은 실수 없이, 짧게
하 7문항(1~5번, 서답형1·2)은 정의를 그대로 적용하는 문항이니 진리집합·합성함수·역함수의 값 계산을 빠르고 정확하게 끝냅니다. 중 9문항은 6번·서답형4에서 대우와 포함관계를, 9번에서 귀류법의 가정과 모순 구조를, 10·11번에서 산술·기하 평균을 위한 식 변형과 부등호 방향을, 7·8번·서답형3·5에서 최대·최소의 자리, 역함수·합성의 계산 순서, 버리는 해, 점근선 찾기를 점검하는 연습으로 대비해 상 문항에 쓸 시간을 확보합니다.
② 서답형 서술 틀 고정
서답형 7문항은 모두 풀이 과정을 요구합니다. 진리집합은 원소나열(서답형1)이나 수직선 위의 범위(서답형4)로 쓰고, 대우로 바꾼 근거, 버린 해의 이유(서답형3의 $a<0$, 서답형6의 $t>2$), 산술·기하 평균의 양수 조건과 등호 조건, 범위 경계의 포함 근거를 한 줄씩 문장으로 남기는 틀을 만듭니다.
③ 산술·기하 평균 변형 훈련
10번·서답형6처럼 $\dfrac{k}{x-p}+c(x-p)$ 꼴을 스스로 만드는 변형을 유형별로 반복하고, 최솟값과 그때의 $x$값을 함께 쓰는 습관을 들입니다.
④ 그래프의 경계부터 표시
12·13번, 서답형7처럼 무리함수의 끝점, 이차함수의 축, 정의역 = 공역 조건을 그림에 먼저 표시합니다. 직선과의 교점 개수는 '끝점을 지날 때·접할 때' 두 경계로 나눠 포함 여부를 판단합니다.
📐 득점 시나리오 배점 합산값 · 추정 아님
하·중 전부 + 상 선택형 2문항(12번·13번)
87점
하·중 전부 + 상 3문항(12번·13번·서답형7)
94점
문항별 전부 정답·전부 오답 기준(서답형 부분점수 미반영)이며, 난이도는 신화수학 자체 분류입니다. 이 시험 원점수 기준으로 하·중을 모두 맞혀도 상 4문항 가운데 2문항만 더하면 최대 88.2점(서답형7 + 6점짜리 1문항)이므로, 90점 이상은 상 4문항 중 3문항 이상을 확보해야 가능한 배점 구조입니다.
🗂️ 문항별 유형·난이도·접근 방식 Question Map
전 20문항 정답·단원·배점·난이도·행동영역·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 행동영역 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|
| 1 |
명제 |
명제의 참·거짓 판별 |
3.6 |
하 |
이해 |
④ |
12의 약수 4·12는 6의 약수가 아님 |
| 2 |
명제 |
부정 조건 $\sim p$의 진리집합 |
3.6 |
하 |
계산 |
⑤ |
$P=\{1,2,\cdots,8\}$의 여집합 |
| 3 |
함수 |
일대일함수 그래프 판별 |
3.6 |
하 |
이해 |
② |
함수 여부(세로선) → 일대일(가로선) 순서로 판정 |
| 4 |
명제 |
<보기> 명제의 참·거짓 |
3.8 |
하 |
이해 |
③ |
진리집합 포함관계, ㄷ 반례 $x=0,\ y=1$ |
| 5 |
함수 |
합성함수의 함숫값 |
3.8 |
하 |
계산 |
① |
$f(g(2))=6$, $g(f(2))=3$ |
| 6 |
명제 |
충분·필요조건과 항상 참인 명제 |
4.3 |
중 |
추론 |
④ |
$p\to\sim r$, $q\to r$을 대우·삼단논법으로 연결 |
| 7 |
유리·무리함수 |
제한된 정의역에서 유리함수의 최대·최소 |
4.4 |
중 |
계산 |
⑤ |
$f(x)=-\dfrac{9}{x-4}-2$ 증가 → 양 끝값 $4,\ -1$ |
| 8 |
함수 |
역함수와 합성함수의 항등식 |
4.9 |
중 |
계산 |
① |
$g(3)=7$과 계수비교로 $a=2,\ b=1$ |
| 9 |
명제 |
귀류법 증명 빈칸 ($\sqrt{3}$은 무리수) |
5.2 |
중 |
이해 |
③ |
유리수 가정·서로소·$(3k)^2=3m^2$ |
| 10 |
절대부등식 |
허근 조건과 산술·기하 평균 최솟값 |
5.2 |
중 |
추론 |
② |
$a>3$, $(a-3)+\dfrac{7}{a-3}+3\ge 3+2\sqrt{7}$ |
| 11 |
절대부등식 |
절대부등식 <보기> 판별 |
5.8 |
중 |
이해 |
③ |
ㄴ은 부등호 방향이 반대 (반례 $a=1,\ b=2$) |
| 12 |
유리·무리함수 |
무리함수 그래프와 평행이동·대칭이동 |
5.8 |
상 |
추론 |
① |
시작점으로 $b=9,\ c=2$, $g(x)=-f(x+1)$로 $a=-1$ |
| 13 |
함수 |
정의역 조건과 일대일함수·일대일대응 |
6 |
상 |
추론 |
② |
축 $x=2$ → $k\le 2$, 일대일대응은 $f(k)=k$ |
| 서답형1 |
명제 |
진리집합과 명제 $p\to q$의 참·거짓 |
5 |
하 |
이해 |
거짓 |
$P=\{1,2,\cdots,7\}$, $Q=\{1,2,3,6,7\}$ → $P\not\subset Q$ (반례 4·5) |
| 서답형2 |
함수 |
역함수의 값으로 일차함수 결정 |
5 |
하 |
계산 |
3 |
$f(1)=5$, $f(-2)=2$ 연립 → $a=1,\ b=4$ |
| 서답형3 |
함수 |
합성함수로 상수 결정과 반복 합성 |
5 |
중 |
계산 |
a=-6,
(f∘f∘f∘f)(-2)=-2 |
$a^2+3a-18=0$, $a<0$ → $f(-2)=-2$ 반복 |
| 서답형4 |
명제 |
대우를 이용한 명제의 참 조건 |
6 |
중 |
추론 |
-4 |
$\sim p\to\sim q \Leftrightarrow Q\subset P$, $a<-3$ |
| 서답형5 |
유리·무리함수 |
대칭축 두 직선으로 유리함수 결정 |
6 |
중 |
추론 |
k=-12,
f(3)=-1 |
두 직선의 교점 $(-3,\ 1)$ = 점근선의 교점 |
| 서답형6 |
절대부등식 |
유리함수 위의 점과 직선 위의 점 사이 거리의 최솟값 |
6 |
상 |
문제해결 |
8 |
$2t=2(t-2)+4$로 변형 후 산술·기하 평균 |
| 서답형7 |
유리·무리함수 |
무리함수 결정과 직선의 교점 개수 |
7 |
상 |
추론 |
2＜t≤3 |
접할 때 $t=2$ (제외) ~ 끝점 지날 때 $t=3$ (포함) |
✅ 자체 풀이·블라인드 재풀이 20/20 일치(서답형1·2·7 세 문항은 답 표기 방식만 달라 값 일치로 확정) · Python 코드 교차검증 20문항 · 공식 정답표 미대조
👪 학부모 안내 For Parents
2025학년도 기출인 이 시험지를 가정에서 어떻게 읽고 활용하면 좋은지 정리했습니다.
이 시험의 성격
명제(참·거짓, 필요·충분조건), 절대부등식, 함수, 유리함수와 무리함수가 모두 출제되었고, 대단원으로 보면 '집합과 명제'와 '함수와 그래프'가 거의 절반씩인 시험입니다. 선택형 13문항(60점)은 번호가 커질수록 배점이 같거나 높아지며 1~5번은 기본 문항, 12·13번은 난이도 상 문항이고, 서답형 7문항(40점)은 모두 풀이 과정과 답을 함께 쓰는 형식입니다.
점수보다 먼저 볼 것
자녀가 이 기출을 직접 풀어 본 뒤, 틀린 문항이 하·중·상 가운데 어디인지 먼저 확인해 주세요. 문항별 전부 정답 기준으로 하·중 16문항을 모두 맞히면 75.2점이고, 90점 이상은 난이도 상 4문항(24.8점) 중 3문항 이상을 맞혀야 가능한 구조입니다(서답형 부분점수 미반영). 하·중·상 가운데 어느 난이도에서 잃은 점수인지에 따라 준비 방법이 달라집니다.
가정에서 도울 수 있는 것
서답형 답안을 아이가 소리 내어 설명해 보게 해 주세요. '왜 이 값을 버렸는지', '등호는 언제 성립하는지'처럼 이유를 말로 설명해 보면, 서술형에서 빠뜨리기 쉬운 근거를 스스로 점검할 수 있습니다.
다음 시험 준비 방향
같은 범위를 준비할 때는 진리집합과 대우를 이용한 명제 판정, 산술·기하 평균을 쓰기 위한 식 변형, 그래프의 끝점·정의역 경계 읽기를 우선 연습하기를 권합니다. 서답형은 풀이를 직접 써 본 뒤 첨삭을 받아 근거가 빠진 곳을 확인하는 방식을 권합니다.
📝 총평 Final Assessment
영송여자고등학교 2025학년도 1학년 공통수학2 2학기 기말고사는 선택형 13문항(60점)과 서답형 7문항(40점), 총 20문항 100점으로 구성되었다. 단원별 배점은 명제 31.5점, 함수 28.3점, 유리함수와 무리함수 23.2점, 절대부등식 17점 순이며, 대단원으로 묶으면 집합과 명제 48.5점, 함수와 그래프 51.5점으로 두 영역의 비중이 비슷하다. 난이도는 하 7문항(28.4점), 중 9문항(46.8점), 상 4문항(24.8점)이며, 선택형 배점은 1번 3.6점에서 13번 6점까지 번호가 커질수록 같거나 높아진다. 상 문항은 선택형과 서답형 각각의 마지막 두 문항(12·13번, 서답형6·7)에 배치되었다.
명제 영역은 4·6번과 서답형1·4처럼 명제의 참·거짓을 진리집합의 포함관계와 대우로 바꿔 판단하게 하는 구성이 중심이다. 고난도 문항에서 두드러진 첫째 축은 정의역·치역과 그래프의 끝점으로 미지수를 정하는 문항으로, 12번(5.8점), 13번(6점), 서답형7(7점)이 여기에 속해 합계 18.8점이다. 둘째 축은 산술·기하 평균을 쓰기 위해 곱이 상수가 되도록 식을 고쳐 쓰는 문항으로, 10번(5.2점, 난이도 중)과 서답형6(6점)이 같은 발상을 요구한다. 최고배점인 서답형7(7점)은 세 조건으로 무리함수를 확정한 뒤 직선이 끝점을 지날 때와 그래프에 접할 때를 경계로 범위를 정하게 해, 함수 결정과 위치 관계 판단을 한 문항 안에서 요구한다. 정리하면 이 시험은 공식 암기보다 조건을 식과 그래프로 옮기고 경계값의 포함 여부를 판단하는 힘에 배점을 크게 둔 구성이다.
학부모 관점에서 보면, 하·중 16문항을 모두 맞히면 75.2점이지만, 서답형 부분점수를 빼고 보면 90점 이상은 상 4문항(24.8점) 가운데 3문항 이상을 맞혀야 가능한 배점 구조다. 또 서답형 7문항(40점)은 모두 풀이 과정과 답을 상세히 쓰도록 요구하므로, 답이 맞아도 진리집합 표기, 버린 해의 이유, 등호 조건, 경계값의 포함 근거가 빠지면 감점될 소지가 있다. 문항 구성으로 보면 단순 계산력보다 조건을 읽고 근거를 문장으로 남기는 서술력에 큰 배점이 걸린 시험이다.