선택형 13문항 60점 + 서답형 7문항 40점, 총 20문항 100점. 집합(35.9점)과 원의 방정식·도형의 이동(34.5점)이 전체의 70.4%를 이루고, 난이도 상이 7문항 41.0점으로 배점의 가장 큰 덩어리를 차지하는 추론 중심 시험이다.
서답형 7문항이 모두 풀이 과정 서술형(40점, 40.0%)으로 배치되어 답만으로는 점수가 성립하지 않는 구조다.
4개 대단원 중 집합과 원·이동 두 축이 70.4점을 점유하고, 평면좌표·직선은 최고배점 문항의 마무리 도구로 쓰인다.
이번 시험의 변별력을 만드는 축
5번(3.8점), 10번(5.2점), 13번(6점), 서답형4(6점), 서답형5(6점)가 모두 "거리"를 최종 답이 아니라 최대·최소 판정의 대상으로 다룬다. 단순 대입이 아니라 어떤 위치에서 극값이 생기는지를 먼저 규정해야 식이 세워진다.
2번(3.6점)·4번(3.8점)은 이동 결과에서 a, b를 읽어내고, 10번(5.2점)은 두 번의 대칭이동으로 경로를 펴며, 서답형6(6점)은 원점 대칭이동한 중심을 이차함수의 꼭짓점에 맞춰 a, b를 역산한다. 이동을 "그린 뒤 읽는" 것이 아니라 "조건에서 거꾸로 복원"하는 문항군이다.
서답형7(7점)은 n(B)=4, A∩B={3,4}, 원소합 두 개(16, 41)라는 네 개의 조건을 동시에 만족시켜야 한다. 원소를 하나씩 찾으려 들면 시간이 무너지고, 집합 A의 원소합을 B의 원소합으로 표현하는 일반화가 반드시 선행되어야 한다.
8번(4.9점)은 "원이 되는 조건"(반지름의 제곱 > 0), 9번(5.2점)과 서답형3(5점)은 접선, 서답형4(6점)는 원과 직선의 거리 최댓값으로 같은 재료를 세 방향에서 묻는다. 특히 서답형3(5점)은 접선이 두 개 나오므로 하나만 쓰면 감점이다.
실전에서 감점이 자주 발생하는 함정
|b+2| = 10에서 b = 8과 b = −12 두 값이 나오는데 문제의 단서가 b > 0이다. 절댓값을 풀고 곧장 큰 수를 고르면 맞지만, 음수 해를 답으로 적으면 선지 밖으로 나간다. 절댓값 방정식은 해를 모두 구한 뒤 단서로 거르는 순서를 지켜야 한다.
−k²+8k−15 > 0이지 ≥ 0이 아니다. 등호를 허용하면 반지름 0인 점이 되어 "원"이 아니다. 3 < k < 5의 열린 구간에서 정수는 4 하나뿐인데, 등호를 넣으면 3과 5까지 세어 답이 세 개가 되어 버린다.
n(A∩B) ≥ 4만 보고 하한만 챙기면 최솟값을 못 구한다. n(A∩B)는 min(10, 14) = 10을 넘을 수 없다는 상한이 함께 작동해 n(A∪B)는 14 이상 20 이하가 된다. a − b = 20 − 14 = 6.
A₆ ∩ A₁₂ = A₆까지는 맞지만 여기에 A₄ = {1,2,4}를 합치면 원소 4가 추가되어 A₆와 달라진다. 교집합 결과가 A₆라는 데서 안심하고 ㄴ을 참으로 처리하는 실수가 가장 잦다. 정답은 ㄱ, ㄷ.
직선 AB와 점 D 사이의 거리 16/5는 지름이다. 반지름은 8/5이고 넓이는 64π/25인데, 16/5를 반지름으로 넣으면 256π/25가 되어 선지에 없는 값이 나온다. 또 BD : DC = AB : AC = 5 : 10 = 1 : 2이므로 내분비를 5 : 10으로 그대로 쓰면 좌표가 틀린다.
점 (−6, 2)에서 그은 접선은 y = 2와 3x + 4y + 10 = 0 두 개다. 32m² + 24m = 0에서 m = 0을 "해가 없다"로 넘기면 절반만 답하게 된다. 서술형이므로 두 접선을 모두 제시해야 만점이며, x = −6은 중심까지 거리가 6이라 접선이 아님도 확인해 두면 안전하다.
배점 방어 우선순위별 학습 처방
서답형 7문항 40점이 전부 "풀이 과정과 답을 상세하게 서술하시오"다. 근거 문장(공식 명시) → 식 세우기 → 계산 → 단서 확인 → 답의 4단 서식을 고정하고, 특히 서답형3(5점)의 두 접선, 서답형4(6점)의 k > 0 조건처럼 해를 거르는 근거를 반드시 문장으로 남기는 연습을 반복한다.
1~4번(3.6~3.8점)과 서답형1(5점)은 정의와 공식 대입만으로 끝난다. 이 19.6점을 확보하지 못하면 상위 문항 도전 시간 자체가 없어진다. 중심 이동, 수직 조건 기울기 곱 −1, 내분점·중점·무게중심 공식을 손이 먼저 움직이는 수준으로 자동화한다.
5번(3.8점)·10번(5.2점)·13번(6점)·서답형4(6점)·서답형5(6점)를 한 세트로 묶어 "원 위의 점 ↔ 직선", "정점을 지나는 직선족 ↔ 고정점", "꺾인 경로의 대칭 전개" 세 도식을 그림 한 장씩으로 만든다. 각 도식마다 극값이 발생하는 위치를 말로 설명할 수 있어야 새 문항에 전이된다.
9번(5.2점)·11번(5.8점)·12번(5.8점)·13번(6점)·서답형7(7점)은 조건이 3개 이상 중첩된다. 문제를 읽으며 조건마다 번호를 매기고 조건 한 줄 = 식 한 줄로 옮겨 적은 뒤 연립하는 습관을 들인다. 특히 집합 원소합 문항은 원소를 나열하려 들지 말고 합의 관계식으로 일반화하는 방향을 먼저 시도한다.
전 20문항 정답·단원·배점·난이도·핵심 접근 총정리
| 문항 | 단원 | 유형·소재 | 배점 | 난이도 | 정답 | 핵심 접근 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 집합 | 조건제시법 집합의 원소 개수 | 3.6 | 하 | ③ | U = {1,…,12}에서 A = {1,2,4,8}(n=4), B = {4,8,12}(n=3) → 합 7 |
| 2 | 원·이동 | 원의 평행이동 | 3.6 | 하 | ① | 중심 (1,1)을 (3,−5)만큼 옮겨 (4,−4) → a+b = 0 |
| 3 | 직선 | 수직인 직선의 방정식 | 3.6 | 하 | ② | 2x+2y+3=0의 기울기 −1 → 수직 기울기 1, (1,2) 대입해 y = x+1 → a+b = 2 |
| 4 | 원·이동 | 원점에 대한 대칭이동 | 3.8 | 하 | ④ | 중심 (3,5) → (−3,−5)이므로 a = −3, b = −5 → ab = 15 |
| 5 | 직선 | 평행 조건 + 점과 직선 사이 거리 | 3.8 | 중 | ② | y = 3x+b에서 |b+2|/√10 = √10 → b = 8 또는 −12, 단서 b > 0으로 8 |
| 6 | 집합 | 대응으로 만든 집합의 부분집합 판정 | 4.3 | 중 | ⑤ | X = {−3,−1,0,2,3,5}를 먼저 확정 → 원소 1이 X에 없으므로 ⑤는 부분집합이 아님 |
| 7 | 집합 | 여집합·교집합의 원소 개수 | 4.4 | 중 | ② | n(A∩B) = 15+15−25 = 5 → n(Ac∩B) = n(B)−n(A∩B) = 10 |
| 8 | 원·이동 | 원이 되기 위한 정수 조건 | 4.9 | 중 | ④ | 표준형 변환 후 반지름² = −k²+8k−15 > 0 → 3 < k < 5, 정수 k = 4 |
| 9 | 원·이동 | 원 위의 점에서의 접선 + 다른 원에 접하는 직선 | 5.2 | 상 | ① | 접선 x+3y=10의 기울기 −1/3 → 수직 기울기 3, |n−1| = 3√10 → 두 근의 곱 1−90 = −89 |
| 10 | 평면좌표 | 두 축에 대한 대칭이동과 최단경로 | 5.2 | 상 | ③ | A를 x축에 대해 (4,−3), B를 y=x에 대해 (4,6)으로 반사 → 최솟값은 두 점 거리 9 |
| 11 | 집합 | 합집합 원소 개수의 최대·최소 | 5.8 | 상 | ④ | n(A∪B) = 24−n(A∩B), 4 ≤ n(A∩B) ≤ 10 → a = 20, b = 14, a−b = 6 |
| 12 | 집합 | 약수 집합의 포함관계 참·거짓 | 5.8 | 상 | ⑤ | ㄱ 참, ㄴ은 A₄∪A₆ = {1,2,3,4,6} ≠ A₆로 거짓, ㄷ은 Am ⊂ An ⟹ m|n으로 참 |
| 13 | 평면좌표 | 각의 이등분선·내분점·점과 직선 거리·원의 넓이 | 6 | 상 | ⑤ | AB:AC = 5:10 = 1:2 → D(1, −10/3), 직선 AB는 4x−3y+2=0, 거리 16/5 = 지름 → 넓이 64π/25 |
| 서답형 1 | 평면좌표 | 거리·내분점·중점·무게중심 종합 | 5 | 하 | 5, (−5/3, 1), (0, 3), (−1, 3) | (가) AB = 5 (나) AC의 2:1 내분점 (−5/3, 1) (다) BC 중점 (0, 3) (라) 무게중심 (−1, 3) |
| 서답형 2 | 집합 | 드모르간 법칙과 차집합의 원소 개수 | 5 | 중 | 4 | n(Ac∩Bc) = n((A∪B)c) = 11 → n(A∪B) = 19, n(A∩B) = 6 → n(A−B) = 10−6 = 4 |
| 서답형 3 | 원·이동 | 원 밖의 점에서 그은 접선의 방정식 | 5 | 중 | y = 2, 3x+4y+10 = 0 | y−2 = m(x+6)에서 |6m+2|/√(m²+1) = 2 → 32m²+24m = 0 → m = 0, −3/4 (두 개 모두 서술) |
| 서답형 4 | 원·이동 | 원 위의 점과 직선 사이 거리의 최댓값 | 6 | 중 | k = 7√13 | 최댓값 = 중심까지 거리 + 반지름 → |k|/√13 + 3 = 10 → |k| = 7√13, k > 0 |
| 서답형 5 | 직선 | 정점을 지나는 직선과 한 점 사이 거리의 최댓값 | 6 | 상 | 1 | 두 직선의 교점 (2,1)을 먼저 구하고, 거리는 (2,1)과 (2,0)을 잇는 선분에 수직일 때 최대 = 1 |
| 서답형 6 | 원·이동 | 원점 대칭이동한 원의 중심과 이차함수 꼭짓점 | 6 | 중 | a+b = −9/2 | 중심 (2a, −b) → 대칭 후 (−2a, b), 꼭짓점 (−3, −6) → a = 3/2, b = −6 |
| 서답형 7 | 집합 | 대응으로 정의된 집합의 원소합 조건 역산 | 7 | 상 | k = −4 | ∑A = (16 − 4·3k)/2 = 8−6k → ∑(A∪B) = ∑A+∑B−∑(A∩B) = 17−6k = 41 → k = −4 |
영송여고 1학년 2학기 중간고사 공통수학2는 선택형 13문항 60점, 서답형 7문항 40점, 총 20문항 100점으로 구성됐다. 단원 배점은 집합 35.9점(7문항)이 가장 크고 원의 방정식과 도형의 이동 34.5점(7문항)이 근소한 차이로 뒤를 이어 두 축만으로 전체의 70.4%를 점유한다. 평면좌표 16.2점(3문항)과 직선의 방정식 13.4점(3문항)은 분량은 적지만 13번(6점)과 서답형5(6점) 같은 최고배점대를 맡아 실질 비중이 배점보다 크다. 난이도는 상 7문항 41.0점, 중 8문항 39.4점, 하 5문항 19.6점으로 상위 배점이 하위의 두 배를 넘으며, 1~4번(3.6~3.8점)에 정의 확인형을 모아 두고 9번(5.2점)부터 서답형7(7점)까지 추론형을 계단식으로 쌓아 올린 설계다.
이 시험을 관통하는 첫 번째 축은 거리의 최대·최소다. 5번(3.8점), 10번(5.2점), 13번(6점), 서답형4(6점), 서답형5(6점) 다섯 문항 27점이 모두 거리 공식을 답이 아니라 극값 판정의 재료로 쓰게 한다. 두 번째 축은 이동을 되돌려 미지수를 복원하는 계열로 2번(3.6점), 4번(3.8점), 10번(5.2점), 서답형6(6점) 네 문항 18.6점이 여기 속한다. 최고배점인 서답형7(7점)은 n(B)=4, A∩B={3,4}, 원소합 16과 41이라는 조건을 3단으로 겹쳐 상수 k를 역산하게 하고, 13번(6점)은 각의 이등분선 성질에서 내분점, 점과 직선 사이 거리, 원의 넓이까지 네 단계를 한 문항에 직렬로 연결했다. 결국 이 시험이 측정한 능력은 공식의 암기량이 아니라 주어진 조건을 식으로 옮겨 미지수를 거꾸로 추적하는 힘이다.
비전문가의 언어로 옮기면, 이번 시험은 "배운 공식을 쓸 줄 아느냐"가 아니라 "문제가 준 단서를 순서대로 풀어헤칠 줄 아느냐"를 물었다. 서답형 40점이 전부 풀이 과정 서술형이라 답만 맞혀서는 점수가 성립하지 않으며, 서답형3(5점)처럼 접선이 두 개 나오는 문항은 하나만 적으면 절반만 인정된다. 실점 원인은 세 층으로 나눠 진단해야 한다. 하위 5문항 19.6점에서 잃었다면 개념 자체의 누락이고, 중위 8문항 39.4점에서 무너졌다면 단서를 거르는 계산 정확도의 문제이며, 상위 7문항 41.0점에서 멈췄다면 조건 독해력과 서술력의 영역이다. 이 구분이 선행되어야 다음 처방이 학생에게 실제로 맞는다.