1번(2의 배수 또는 5의 배수)은 합의 법칙+여집합의 기본형이지만, 11번(5명을 세 분야에 각 1명 이상 배정)은 (3,1,1)과 (2,2,1) 두 분할 유형을 모두 세고 같은 크기의 조를 2!로 나눠야 150이 나온다. 서답형7은 a>b>c, c<d<4라는 두 개의 대소 조건이 c를 매개로 얽힌 최고난도 나열 문제다.
13번은 x²+(k+2)x를 t로 치환해 (t+4)(t+9)=0으로 쪼갠 뒤, 두 이차방정식의 판별식을 동시에 통제해야 하는 구조다. 9번은 x³=−1의 허근이 ω²−ω+1=0, ω³=−1(x³=1일 때와 부호가 다름!)을 만족한다는 점이 승부처다. 서답형2는 x=−1을 대입해 a를 먼저 확정하는 정석형이다.
4번은 해 −3<x<2로부터 (x+3)(x−2)<0 ⇒ x²+x−6<0을 복원해 a=−1, b=−6을 얻는 역방향 문제다. 12번은 |2x−1|<7(정수 −2~3)과 이차부등식의 해집합이 딱 1개의 정수에서만 겹치도록 a를 조이는 최고난도 문항이다. 서답형6은 좌·우 두 부등식을 각각 “모든 실수에서 성립” 조건으로 바꿔 3<a≤4를 얻는다.
2번(성분 계산)과 서답형3(AB=O에서 a=2, b=−6)은 정의 대입 수준이지만, 7번은 A²=−2E임을 이용해 A³=−2A로 줄이지 않으면 계산이 번거롭다. 8번은 aij=1이 “i번 음료가 j번 재료를 포함”임을 표에서 정확히 옮겨야 하는 독해형이다.
문제는 x³=−1이다. x³+1=(x+1)(x²−x+1)=0이므로 허근은 ω²−ω+1=0, ω³=−1을 만족한다. 습관적으로 ω²+ω+1=0, ω³=1을 쓰면 보기 ㄱ·ㄴ·ㄷ 판정이 전부 뒤집힌다. 실제로 ㄴ(ω³+ω+1=0)은 −1+ω+1=ω≠0이라 거짓이며, 정답은 ㄱ·ㄷ이다.
겉넓이 조건에서 r²−4r+3=0 → r=1 또는 r=3이 나온다. 그러나 r=3이면 h=8−3·3=−1로 높이가 음수가 되어 원기둥이 성립하지 않는다. 두 근 중 큰 값을 반사적으로 고르면 오답(③)으로 직행한다.
(2,2,1) 분할에서 5C2×3C2×1C1만 계산하면 크기가 같은 두 조를 중복해서 센다. 반드시 2!로 나눈 뒤(=15) 세 분야 배정 3!을 곱해야 90이 되고, (3,1,1)의 60과 합쳐 150(②)이 된다. 여기서도 1명짜리 조가 두 개이므로 2!로 나눠야 한다.
t²+13t+36=0에서 t=−4, −9가 나왔다고 “실근 2개”로 판단하면 안 된다. 각 t마다 x에 대한 이차방정식이 다시 생기므로 판별식 두 개를 동시에 통제해야 한다. “D>0 하나 + D<0 하나”인 4<|k+2|<6만 조건을 만족해 k=3, −7 → 합 −4(④).
5x²+6xy+y²=(5x+y)(x+y)=0에서 y=−5x와 y=−x 두 경우가 모두 나온다. y=−x만 보면 α−β=±2√5(≈±4.47)가 최솟값이라고 잘못 답하게 되는데, y=−5x 쪽에서 α−β=±6이 나오므로 실제 최솟값은 −6이다.
조건부 나열 문제는 범위가 가장 좁은 변수를 먼저 케이스로 잡는다. 서답형7처럼 d<4가 주어지면 d=1,2,3을 먼저 나열하고 그 안에서 c, 다시 a>b를 조합으로 세는 3단 구조를 훈련한다. 분할 문제(11번)는 “같은 크기 조 개수의 계승으로 나눈다”를 규칙으로 암기한다.
복이차·치환형 사차방정식은 t를 구한 뒤 t마다 x의 판별식을 다시 따지는 2단계가 본체다. 허근 문제는 x³=1과 x³=−1의 관계식을 부호까지 구분해 별도 카드로 정리해 둔다. 연립이차방정식은 인수분해된 모든 가지를 빠짐없이 대입한다.
12번 같은 “정수해 개수” 문제는 반드시 수직선을 그리고 정수 점을 찍어 센다. 판별식이 상수로 떨어져 인수분해되는 패턴(√49=7)을 알아보는 눈을 기르고, “모든 실수에서 성립”은 좌·우 부등식을 각각 독립적으로 D 조건으로 바꾸는 절차를 표준화한다.
8번처럼 실생활 표를 행렬로 바꾸는 유형은 행이 무엇이고 열이 무엇인지 먼저 적는 한 줄이 정답률을 가른다. 거듭제곱은 A²를 계산해 kE 꼴로 떨어지는지부터 확인하고, AB=O 유형은 네 성분을 모두 연립해 모순이 없는지 검산한다.
| 문항 | 유형 | 소재 | 배점 | 난이도 | 접근 방식 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 경우의수 | 15 이하 자연수 중 2 또는 5의 배수 개수 | 3.5 | 하 | 합의 법칙 n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)로 7+3−1=9 |
| 2 | 행렬 | 행렬의 합·차에서 (2,1) 성분 | 3.5 | 하 | 해당 위치 성분만 골라 2+0−(−3)=5로 계산(전체 행렬을 다 구할 필요 없음) |
| 3 | 부등식 | 연립일차부등식의 해 a≤x<b, a+b | 3.8 | 하 | 각각 x≥3, x<4로 정리해 3≤x<4 → a=3, b=4 → 7 |
| 4 | 부등식 | 해가 −3<x<2인 이차부등식의 계수 역산 | 3.8 | 중 | (x+3)(x−2)<0을 전개해 계수 비교 → a=−1, b=−6 → b−a=−5(부호 주의) |
| 5 | 경우의수 | 6명 이어달리기, 선생님 2명이 1번·5번 주자 | 4.2 | 하 | 선생님 2명을 지정 두 자리에 2!, 학생 4명을 남은 네 자리에 4! → 2×24=48 |
| 6 | 경우의수 | 11개 공에서 3개, 6의 약수가 적힌 공 제외 | 4.4 | 중 | 6의 약수 1,2,3,6(4개)을 제외한 7개에서 7C3=35 |
| 7 | 행렬 | A³(1,1)ᵀ=(a,b)ᵀ에서 a−b | 4.4 | 중 | A²=−2E를 먼저 확인해 A³=−2A로 축약 → (−2,4)ᵀ → a−b=−6 |
| 8 | 행렬 | 음료·재료 포함 관계를 0/1 행렬로 표현 | 4.7 | 중 | i=음료(행), j=재료(열)를 명시하고 표를 한 행씩 옮겨 (1 0 1 / 0 1 1 / 0 1 0) |
| 9 | 방정식 | x³=−1의 허근 ω의 성질 <보기> 판정 | 5.1 | 상 | ω²−ω+1=0, ω³=−1을 세우고 1/ω도 같은 관계식을 만족함을 이용해 ㄱ·ㄷ 참 판정 |
| 10 | 방정식 | 3r+h=8, 겉넓이 12π인 원기둥의 r | 5.3 | 중 | 2πr²+2πrh=12π에 h=8−3r 대입 → r²−4r+3=0 → h>0 조건으로 r=1 채택 |
| 11 | 경우의수 | 5명을 세 분야에 각 1명 이상 배정 | 5.7 | 중 | (3,1,1)과 (2,2,1)로 분할 후 같은 크기 조를 2!로 나누고 3!을 곱해 60+90=150 |
| 12 | 부등식 | 연립부등식의 정수해가 1개일 때 정수 a의 합 | 5.8 | 상 | 판별식이 49(상수)임을 이용해 x≤a−2 또는 x≥a+5로 인수분해, −2~3 중 하나만 걸리는 a=0, −2 → 합 −2 |
| 13 | 방정식 | 치환형 사차방정식의 실근 2개 조건, 정수 k의 합 | 5.8 | 상 | t=x²+(k+2)x로 치환해 t=−4, −9 → 두 판별식을 동시 통제, 4<|k+2|<6 → k=3, −7 → 합 −4 |
| 서답형1 | 경우의수 | x+2y≤5인 자연수 순서쌍 개수 / 60의 약수 개수 (서술형) | 5 | 하 | (가)는 y=1,2로 나눠 3+1=4, (나)는 60=2²·3·5 → 3×2×2=12 |
| 서답형2 | 방정식 | 세 근이 −1, b, c인 삼차방정식의 a, b, c (서술형) | 5 | 중 | x=−1 대입으로 a=−7 확정 → x³+7x²+14x+8=(x+1)(x+2)(x+4) → b=−4, c=−2 |
| 서답형3 | 행렬 | AB=O를 만족하는 a, b와 b(1,2)ᵀ (서술형) | 5 | 중 | 네 성분을 모두 0으로 놓아 연립 → a=2, b=−6 → b(1,2)ᵀ=(−6, −12)ᵀ |
| 서답형4 | 방정식 | 연립이차방정식의 해에서 α−β의 최솟값 (서술형) | 6 | 상 | (5x+y)(x+y)=0의 두 갈래를 모두 둘째 식에 대입 → ±2√5와 ±6을 비교해 최솟값 −6 |
| 서답형5 | 부등식 | |x−5|+|x−1|≤6의 해와 b−a (서술형) | 6 | 중 | x<1, 1≤x<5, x≥5 세 구간으로 나눠 절댓값을 풀면 0≤x≤6 → b−a=6 |
| 서답형6 | 부등식 | −x²+2<2x+a≤x²+5가 항상 성립할 a의 범위 (서술형) | 6 | 중 | 좌·우를 분리해 x²+2x+(a−2)>0(D/4<0)과 x²−2x+(5−a)≥0(D/4≤0) → 3<a≤4 |
| 서답형7 | 경우의수 | a>b>c, c<d<4인 네 자리 자연수의 개수 (서술형) | 7 | 상 | 제약이 센 d(=2,3)부터 고정하고 c를 정한 뒤 남은 수에서 a>b를 조합으로 선택 → 21+21+15=57 |
이번 영송여자고등학교 1학년 공통수학1 2026학년도 1학기 기말고사는 선택형 13문항 60점, 서답형(서술형) 7문항 40점으로 총 20문항 100점으로 구성되었다. 단원별 배점은 경우의 수(순열·조합) 29.8점, 여러 가지 방정식 27.2점, 여러 가지 부등식 25.4점, 행렬 17.6점으로, 네 단원이 모두 17~30점 구간에 놓이는 극단적인 균형 출제다. 특정 단원을 버리고 다른 단원에 몰아 넣는 전략이 전혀 통하지 않는다는 뜻이다. 난이도는 하 5문항(20.0점), 중 10문항(50.3점), 상 5문항(29.7점)으로 중 난도가 절반을 차지하는 정석적 분포이며, 선택형 배점이 1번 3.5점에서 13번 5.8점까지 0.3~0.4점 단위로 완만하게 상승하도록 설계되어 있어 앞번호 기본 문항에서의 실수가 곧바로 등급 손실로 이어지는 구조다. 서답형 배점(5·5·5·6·6·6·7)이 전체의 40%를 차지한다는 점도 이 시험의 핵심 특징이다.
출제의 성격을 한마디로 요약하면 “정의를 정확히 읽고, 케이스를 빠짐없이 나누었는가”를 묻는 시험이다. 9번은 x³=−1의 허근을 다루는데, 학생 대부분이 암기해 둔 x³=1의 성질(ω²+ω+1=0, ω³=1)을 반사적으로 대입하면 보기 ㄱ·ㄴ·ㄷ의 판정이 모조리 뒤집히도록 설계되어 있다. 10번은 이차방정식의 두 근 r=1, 3 중 r=3이 h=−1을 낳아 기각된다는 기하적 타당성 검토를 요구하고, 11번은 (2,2,1)·(3,1,1) 분할에서 같은 크기의 조를 2!로 나누는 처리를 빠뜨리면 답이 어긋난다. 가장 변별력이 큰 문항은 12번과 서답형7이다. 12번은 판별식이 a에 무관하게 49로 떨어져 x≤a−2 또는 x≥a+5로 즉시 인수분해된다는 점을 간파해야 하며, 여기서 수직선을 그려 정수 −2~3 중 하나만 걸리는 경계를 좌·우로 나눠 따져야 a=0, −2를 모두 얻는다. 서답형7은 a>b>c와 c<d<4라는 두 대소 조건이 c를 매개로 얽혀 있어, d부터 고정하는 3단 분류 없이는 57이라는 답에 도달하기 어렵다. 서답형4 역시 (5x+y)(x+y)=0의 한 갈래만 대입하면 −2√5를 최솟값으로 오답 처리하게 되는 전형적 함정이다.
학부모님께는 이번 시험이 계산량으로 승부하는 시험이 아니라, 조건 해석과 케이스 분류의 꼼꼼함이 점수를 가르는 시험이었다는 점을 말씀드린다. 특히 40점 배점의 서답형이 모두 “풀이 과정을 상세히 서술”하도록 지시되어 있어, 답을 맞히고도 과정 기술이 부실해 부분점수를 잃는 사례가 반복적으로 발생한다. 학생들에게는 다음 학습 사이클을 4주 커리큘럼으로 제안한다. 1주차 — 순열·조합의 조건부 나열 집중 훈련(제약이 강한 문자부터 고정하는 3단 분류법, 분할 시 같은 크기 조를 계승으로 나누는 규칙 30문제). 2주차 — 여러 가지 방정식: 치환형 사차방정식에서 “t의 개수≠x의 개수” 원리, x³=1과 x³=−1 허근 성질의 부호 구분 카드 암기, 연립이차방정식의 모든 갈래 대입 훈련. 3주차 — 부등식: 정수해 개수 조건 문제를 반드시 수직선에 그려 세는 습관화, “모든 실수에서 성립”을 판별식 조건으로 바꾸는 절차 표준화, 절댓값 구간 분할 20문제. 4주차 — 행렬 정의·거듭제곱(A²=kE 확인) 마무리와 서답형 서술 첨삭 집중. 마지막 주에는 반드시 실제 답안지 형식으로 풀이를 적고 첨삭을 받아, 중간 논리 단계와 근거 문장을 채점자가 읽을 수 있게 쓰는 훈련을 병행해야 한다.